『ガロアの群論 方程式はなぜ解けなかったのか』

中村亨 著
講談社ブルーバックス
ISBN978-4-06-257684-0
ガロアの群論に関する入門書。
一応、１の三乗根のうちで１でないものを示すωくらいの他は、中学校の数学レベルから書かれているので、入門書といえば入門書。多少苦労しても良いという人なら、読んでみても良い本だと思う。
ただし、絶対的な意味では、かなり分かりにくい部類に入る本か。ところどころ説明に抜けがあるような気がするし、〜が○○なのは明らか、と著者が書いているようなところは、私には全然明らかではなかったりするし、絶対的な意味で、日本語が難しい。
著者のせいばかりではないのだろうが、方程式の解の対称式の値、とかで分かるのだろうか。方程式の解a,b,…,cの全てが、方程式の解のある一つの有理式の有理式で表される、とか。
（後段は、方程式の解を使った一つの有理式（ガロアによれば一次式pa+qb+…+rcで良い）を使って、方程式の解すべてが表せる（A=pa+qb+…+rcと置いて、例えばa=A-3、b=1/A、c=…という有理式の形で示せる）ということ。この性質は方程式のガロア群がすべての方程式について存在するために必要らしい）。
全体に、説明の丁寧さが足りない印象。例えば、
b+ω･c+ω^2･a=ω^2･a+ω^4･c+ω^3･b
となっているところで、
b+ω･c+ω^2･a=ω^2･a+ω^4･c+ω^3･b(∵ω^3=1)
くらい書いておいてくれると、分かりやすさが全然違うと思うのだが。
後は、それでも良ければ、という本。
数学の本を読みなれている人には、これでも分かりやすいのかもしれない。一応、基本的なことから書かれているので、絶対に分からない、というほどではない。
それでも良ければ読んでみても、という本だろう。

以下、とりあえず勝手なメモ。（勝手に私が要約したのでどこか間違っている可能性が高いし、一年後くらいには私が理解できない可能性はもっと高い）
・二次元方程式の二つの解がaとbであったとき、(x-a)(x-b)=0の左辺を展開すると、x^2-(a+b)x+abとなるから、方程式の係数と解とは密接な関係がある。
・方程式の係数に表れる、a+b、abのような式は、この文字式の文字を置換しても、同じ式になる。a+bのaをb、bをaに置き換えても、b+a=a+bである。このような式を、対称式という。
・方程式(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)……=0を考えたとき、この方程式の解をどのように置換しても、因数を掛ける順番を変えているだけなので、式として不変であり、展開して得られる係数の式は変わらない。方程式の係数となる解の式は、すべて対称式である。
・すべての対称式は、方程式の各次数の項の係数となる対称式（基本対称式）の多項式として表すことができる。このことはニュートンが証明した。
・従って、方程式の解を使った対称式の値は、方程式の係数から計算できる。このことは、多項式の分数として表される有理式の対称式についてもいえる。対称式のもともとの意味は、その中の変数をどのように置換しても変化しない式のことだから、方程式の解を使った有理式Ｒについて、その式がすべての解の置換を作用させても変化しないならば、有理式Ｒの値は方程式の係数から四則演算を使って計算できることになる。
・置換を何度か作用させることを、置換の積と呼ぶ。文字a,b,cの有理式について、aをb、bをc、cをaに置き換える置換をＡとし、Ａを二回作用させると、aは→b→cに、bは→c→aに、cは→a→bに置き換わる。これにＡをもう一度作用させると、cはaになりaはbになりbはcになるので、結局元に戻る。作用させても何も変化しない置換を恒等置換と呼び、記号?で表す。Ａ^3＝Ｉである。｛Ａ、Ａ^2、Ｉ｝の三つの置換は、このうちのどの二個の置換の積もこの三個の置換の中のどれかになる。このような状況を、｛Ａ、Ａ^2、Ｉ｝は積について閉じている、といい、積について閉じている置換の集まりを置換群と呼ぶ。
・方程式の解a,b,c,…の有理式について、解を置換してもその値が変化しない時、その式の値は有理数であり、式の値が有理数である時、解を置換しても値が変化しないような置換の集まりで、置換の積について閉じているもの（方程式のガロア群）が必ず存在する。
・ガロア群に置換が複数あるとき、その群は複数の正規部分群に分けることができる。正規部分群とは、一つの部分群のすべての要素に同じ置換を作用させることで、別の部分群のすべての要素が得られるものをいう。ガロア群は、最終的には恒等置換一つから成る群にまで分割される。
・方程式のガロア群が恒等置換Ｉのみから成る方程式はすべての解が有理数であり、すべての解が有理数である方程式のガロア群は恒等置換Ｉのみから成る。解の文字式に恒等置換を作用させても式の値は変わりようがないから、式の値は有理式である。
・ガロア群が正規部分群に分割される場合、元のガロア群は式の値が有理式であったが、新しいガロア群が元のガロア群の素数分の１であった場合、式の値にはその素数乗根を使った数が追加される。すなわち、新しいガロア群は、方程式の解a,b,c,…の有理式について、解を置換してもその値が変化しない時、その式の値は有理数と素数乗根を使って表せる数であり、式の値が有理数と素数乗根を使って表せる数である時、解を置換しても値が変化しないような置換の集まりで、置換の積について閉じているものである。
・ガロア群が最終的に恒等置換一つから成る群にまで分割されるとき、その分割が常に素数分の１の比率で行われたならば、その方程式の解は、有理数と素数乗根を使って表せる数であり、代数的に解けることになる。
・(X-x1)…(X-xn)を展開した一般方程式、
X^n−s1・X^(n-1)＋…＋(-1)^n・sn＝0
について考えると、ｎが５以上のとき、この方程式のガロア群はすべての解の置換の組み合わせ（n!個）からなる。この群は、偶置換を作用させた置換と奇置換を作用させた置換の二つの群に分けることができ（置換はすべて、二つの文字の置換（互換）の積で表せる。互換の数が偶数のものを偶置換、奇数のものを奇置換という）、その次に恒等置換のみから成る群に分割される。一回目の分割は、半分になるから素数分の１だが、二回目の分割は、1/（n!/2）となり、n=5以上の場合は素数分の１にならない。従って、五次以上の方程式を代数的に解く解の公式は存在しない。