『複素数とはなにか 虚数の誕生からオイラーの公式まで』

示野信一 著
講談社ブルーバックス
ISBN978-4-06-257788-5
複素数に関して書かれた本。
かなり難しく、読み物といえるかどうか微妙なところだとは思うが、それなりに面白かったので、そうしたものでよければ読んでみても、という本か。
絶対に分からない、というわけでもないと思う。
ただし、後半はやや詰め込みすぎで、何がいいたいのかよく分からない部分はあった。
読み物ではなく教科書と考えればこんなもの。
そうしたものでよければ読んでみても、という本だろう。

以下メモ。
・複素数平面上において、1を原点Ｏを中心に120度（2π/3ラジアン）回転させることを考える。
この回転を三回繰り返すと、360度回転して1に戻るから、この変換は1の立方根を求めるのと同じことである。
（90度の回転を四回繰り返すと、1→ｉ→-1→-ｉ→1となる）
1を120度回転させた位置ωは、内角が30度と60度の直角三角形の辺の長さの比2：1：√3より、（-1+√3i）/2と分かる。
・複素数は、原点からの距離である絶対値ｒと、実軸の正方向から反時計回りに計った偏角で表すことができ、また三角関数を用いて r（cosθ+ｉsinθ）と表すこともできる。-1+√3i=1∠2π/3=cos2π/3+ｉsin2π/3 である。
絶対値が1の複素数を掛ける変換は、複素数平面上において原点を中心とした回転になるから、（cosθ1+ｉsinθ1）（cosθ2+ｉsinθ2）=（cos（θ1+θ2）+ｉsin（θ1+θ2）となり、これを展開して実部と虚部を比較すると、三角関数の加法定理が得られる。
・複素数を係数とするｎ次方程式は、重複を含めてｎ個の複素数解を持つ。
・すべての実数xについて、べき級数展開
ｅ^x＝1+x+x^2/2！+x^3/3！+x^4/4！+x^5/5！+……
cosx＝1-x^2/2！+x^4/4！-……
sinx＝x-x^3/3！+x^5/5！-……
が成り立つ。
虚数べきというものを考え、ｅ＾xのxをixに置き換えると、i^2=-1、i^3=-ｉから、
ｅ^ix＝1+ix+(ix)^2/2！+(ix)^3/3！+(ix)^4/4！+(ix)^5/5！+……
＝（1-x^2/2！+x^4/4！-……）+ｉ（x-x^3/3！+x^5/5！-……）
＝cosx+ｉsinx
となって、オイラーの公式ｅ^ix=cosx+isinxが証明される。
オイラーの公式は、ｅ^iθが絶対値1、偏角θの複素数であることを示しており、実軸の正方向から1を180度（πラジアン）回転させれば-1になるから、ｅ^iπ=-1 である。